En utilisant l’IA et l’automatisation informatique, les chercheurs du Technion ont mis au point un « générateur de conjectures » qui crée des conjectures mathématiques, considérées comme le point de départ de l’élaboration de théorèmes mathématiques. Ils l’ont utilisé pour générer un certain nombre de formules jusqu’alors inconnues. L’étude a été réalisée par des étudiants de premier cycle de différentes facultés sous la tutelle du Professeur assistant Ido Kaminer de la Faculté de génie électrique Andrew et Erna Viterbi du Technion.
Le projet porte sur l’un des éléments les plus fondamentaux des mathématiques : les constantes. Une constante mathématique est un nombre à valeur fixe qui émerge naturellement de différents calculs et de structures mathématiques dans différents domaines. De nombreuses constantes mathématiques sont d’une grande importance en mathématiques, mais aussi dans des disciplines qui y sont extérieures, notamment la biologie, la physique et l’écologie.
Le nombre d’or et le nombre d’Euler sont des exemples de ces constantes fondamentales. La constante la plus célèbre est peut-être pi, qui était étudiée dans l’Antiquité dans le contexte de la circonférence d’un cercle. Aujourd’hui, pi apparaît dans de nombreuses formules dans toutes les branches de la science, avec de nombreux amateurs de mathématiques qui se disputent le nombre de chiffres après le point décimal.
Les chercheurs du Technion ont proposé et examiné une nouvelle idée : l’utilisation d’algorithmes informatiques pour générer automatiquement des conjectures mathématiques qui apparaissent sous la forme de formules de constantes mathématiques.
Une conjecture est une conclusion ou une proposition mathématique qui n’a pas été prouvée ; une fois la conjecture prouvée, elle devient un théorème. La découverte d’une conjecture mathématique sur des constantes fondamentales est relativement rare, et sa source se trouve souvent dans le génie mathématique et l’intuition humaine exceptionnelle. Newton, Riemann, Goldbach, Gauss, Euler et Ramanujan sont des exemples de ce génie, et la nouvelle approche présentée dans le document porte le nom de Srinivasa Ramanujan.
Srinivasa Ramanujan
Srinivasa Ramanujan, mathématicien indien né en 1887, a grandi dans une famille pauvre, mais a réussi à venir à Cambridge à l’âge de 26 ans à l’initiative des mathématiciens britanniques Godfrey Hardy et John Littlewood. Quelques années plus tard, il tombe malade et retourne en Inde, où il meurt à l’âge de 32 ans. Au cours de sa courte vie, il a accompli de grandes choses dans le monde des mathématiques. L’une des rares capacités de Ramanujan était la formulation intuitive de formules mathématiques non éprouvées. L’équipe de recherche du Technion a donc décidé de nommer son algorithme « la machine de Ramanujan », car il génère des conjectures sans les prouver, en « imitant » l’intuition grâce à l’IA et à une automatisation informatique considérable.
Selon le Pr Kaminer, « Nos résultats sont impressionnants car l’ordinateur se moque de savoir si la preuve de la formule est facile ou difficile, et ne base pas les nouveaux résultats sur des connaissances mathématiques préalables, mais seulement sur les nombres en constantes mathématiques. Dans une large mesure, nos algorithmes fonctionnent de la même manière que Ramanujan lui-même, qui a présenté des résultats sans preuve. Il est important de souligner que l’algorithme lui-même est incapable de prouver les conjectures qu’il a trouvées – à ce stade, la tâche est laissée à la discrétion des mathématiciens humains ».
Les conjectures générées par la machine de Ramanujan du Technion ont fourni de nouvelles formules pour des constantes mathématiques bien connues telles que pi, le nombre d’Euler (e), la constante d’Apéry (qui est liée à la fonction zêta de Riemann) et la constante catalane. Étonnamment, les algorithmes développés par les chercheurs du Technion ont réussi non seulement à créer des formules connues pour ces fameuses constantes, mais aussi à découvrir plusieurs conjectures jusqu’alors inconnues. Les chercheurs estiment que cet algorithme pourra accélérer considérablement la génération de conjectures mathématiques sur les constantes fondamentales et aider à identifier de nouvelles relations entre ces constantes.
Comme mentionné, jusqu’à présent, ces conjectures étaient basées sur un génie rare. C’est pourquoi, en des centaines d’années de recherche, seules quelques dizaines de formules ont été trouvées. Il n’a fallu que quelques heures à la machine Ramanujan du Technion pour découvrir toutes les formules de pi découvertes par Gauss, le « prince des mathématiques », au cours d’une vie de travail, ainsi que des dizaines de nouvelles formules inconnues de Gauss.
L-R: Rotem Elimelech, Yoav Harris, Prof. Ido Kaminer and Shahar
Selon les chercheurs, « des idées similaires peuvent à l’avenir conduire au développement de conjectures mathématiques dans tous les domaines des mathématiques, et fournir ainsi un outil significatif pour la recherche mathématique ».
L’équipe de recherche a lancé un site web, RamanujanMachine.com, qui vise à inciter le public à s’impliquer davantage dans l’avancement de la recherche mathématique en fournissant des outils algorithmiques qui seront mis à la disposition des mathématiciens et du grand public. Avant même la publication de l’article, des centaines d’étudiants, d’experts et de mathématiciens amateurs s’étaient inscrits sur le site web.
L’étude a commencé avec un projet de premier cycle dans le cadre du programme d’excellence Rothschild Scholars Technion avec la participation de Gal Raayoni et George Pisha, et s’est poursuivie dans le cadre des projets de recherche menés à la Faculté de génie électrique Andrew et Erna Viterbi avec la participation de Shahar Gottlieb, Yoav Harris et Doron Haviv. C’est également là que la percée la plus significative a été réalisée par un algorithme développé par Shahar Gottlieb qui a conduit à la publication de l’article dans Nature. Le Professeur Kaminer ajoute que la découverte mathématique la plus intéressante faite à ce jour par les algorithmes de la machine de Ramanujan concerne une nouvelle structure algébrique dissimulée dans une constante catalane. Cette structure a été découverte par un lycéen, Yahel Manor, qui a participé au projet dans le cadre du programme Alpha pour les jeunes orientés vers les sciences.
Le Pr Kaminer a ajouté que « les collègues industriels Uri Mendlovic et Yaron Hadad ont également participé à l’étude et ont largement contribué aux concepts mathématiques et algorithmiques qui constituent le fondement de la machine de Ramanujan. Il est important de souligner que l’ensemble du projet a été réalisé sur une base volontaire, n’a reçu aucun financement et les participants ont rejoint l’équipe par pure curiosité scientifique ».
Le Pr Ido Kaminer est chef du laboratoire de dynamique quantique des faisceaux d’électrons de Robert et Ruth Magid. Il est membre de la Faculté Andrew et Erna Viterbi de génie électrique et du Solid State Institute. Kaminer est affilié au Helen Diller Quantum Center et à l’Institut de nanotechnologie Russell Berrie.
Publication dans Nature, 3 février 2021
Source Technion France